" pitagoras de Samos "
En todo triángulo
rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de
longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se
establece que:
c²= a²+b²
De la ecuación (1) se deducen
fácilmente 3 corolarios de
aplicación práctica:
Historia del teorema de Pitágoras.
El teorema
de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre
la escuela
pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se
conocían ternas
de valores que se correspondían con los lados de un triángulo
rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados
triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros.
— Por
qué es útil el teorema de Pitágoras?
Si sabemos las
longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto,
el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer
lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)
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Demostraciones del teorema de Pitágoras
Demostración
tradicional.
Considerando un triangulo rectángulo llamaremos a y b a los
catetos y c a la hipotenusa , colocamos una segunda copia girada 90° con
respecto al primer triangulo de forma que el cateto a sea la prolongación del
cateto b del segundo triangulo , repetimos el proceso anterior con un tercer y
cuarto triangulo.
Los cuatro
triángulos así dibujados determinan un cuadrado que su área es igual a c².
Demostración de Garfield
Partiendo de igual forma de un triangulo rectángulo ,
giramos el triangulo 90° de tal forma que
a sea prolongación del cateto b del otro.
Unimos los extremos formando un trapecio cuyas bases sean a
y b su altura sea a+b. El área del trapecio será entonces (2ab+c)/2 al igualar
las dos expresiones resulta la demostración del teorema de Pitágoras.
Demostración de Euclides
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado
opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que
comprenden el ángulo recto.
— Se
tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y
se construye los cuadrado correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura
CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a
dos:
— Triángulos
ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y
perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que
AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC.
Sus tres lados son iguales.
— Triángulos
ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son
asimismo iguales.
Abundando en las
anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido
positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también
positivo, transforma ABG en CBI
Demostración de Bhaskara
-Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se
construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro
cuadrado de lado (a-b).
-Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado
(a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma
de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.
-Se ha demostrado gráficamente que c²= a²+ b²
-Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la
correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de
lado (a-b), es decir:
c²= 4. a/b + (a+ b)²
-expresión que desarrollada y simplificada nos da el
resultado , y el teorema queda demostrado.
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